벡터의 외적(cross product)은 주로 3차원 공간에서 정의되며, 두 벡터가 이루는 평면에 수직인 벡터, 즉 법선(normal vector)을 구하는 데 사용됩니다. 외적은 크기와 방향을 모두 가지는 벡터 결과를 반환하는 연산으로, 기하학적 의미가 뚜렷하고 물리학, 기하학, 그래픽스 분야에서 매우 중요한 역할을 합니다.
외적의 정의
두 3차원 벡터 \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \), \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \)의 외적은 다음과 같이 계산됩니다:
\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} a_2b_3 – a_3b_2 \\ a_3b_1 – a_1b_3 \\ a_1b_2 – a_2b_1 \end{bmatrix} \]
이 결과는 \( \vec{a} \)와 \( \vec{b} \) 모두에 수직인 새로운 벡터입니다.
기하학적 의미
외적은 두 벡터가 이루는 평면에 수직인 벡터를 반환하며, 이 벡터의 방향은 오른손 법칙(right-hand rule)을 따릅니다. 오른손 법칙이란, 오른손의 네 손가락을 첫 번째 벡터 \( \vec{a} \)의 방향으로, 두 번째 벡터 \( \vec{b} \)로 굽혔을 때, 엄지손가락이 가리키는 방향이 \( \vec{a} \times \vec{b} \)의 방향이라는 의미입니다.
또한 외적의 크기는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이를 나타냅니다:
\[ |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \]
여기서 \( \theta \)는 두 벡터 사이의 각도입니다.
법선 벡터와 평면의 정의
두 벡터 \( \vec{a}, \vec{b} \)가 주어졌을 때, 이들이 이루는 평면에 수직인 벡터, 즉 법선(normal vector)은 다음과 같이 외적으로 계산할 수 있습니다:
\[ \vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} \]
예를 들어, 두 벡터 \( \vec{a} = (1, 0, 0) \), \( \vec{b} = (0, 1, 0) \)의 외적은
\[ \vec{a} \times \vec{b} = (0, 0, 1) \]
이는 z축 방향의 단위벡터이며, 두 벡터가 형성하는 xy평면에 수직입니다.
외적의 성질
- 비가환성: \( \vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a}) \)
- 자기 자신과의 외적은 0: \( \vec{a} \times \vec{a} = \vec{0} \)
- 수직 벡터 생성: 외적의 결과는 항상 입력 벡터들에 수직
응용 분야
- 물리학: 토크, 자기력, 회전운동 등에서 방향성과 힘을 계산
- 컴퓨터 그래픽스: 평면의 법선 벡터를 계산해 조명, 그림자 효과 구현
- 기하학: 평면, 면적, 회전 방향 등 공간 해석
예시 계산
두 벡터 \( \vec{a} = (2, 3, 4) \), \( \vec{b} = (5, 6, 7) \)의 외적:
\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 7 – 4 \cdot 6 \\ 4 \cdot 5 – 2 \cdot 7 \\ 2 \cdot 6 – 3 \cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 21 – 24 \\ 20 – 14 \\ 12 – 15 \end{bmatrix} = (-3, 6, -3) \]
결론
외적의 정의: 두 3차원 벡터로부터, 이 둘에 수직인 새로운 벡터를 구하는 연산입니다.
기하학적 의미: 외적 결과는 두 벡터가 형성하는 평면의 법선 벡터입니다.
외적의 크기: 두 벡터로 이루어진 평행사변형의 넓이를 의미합니다.
응용: 물리, 그래픽스, 공간 해석 등에서 방향성 및 법선 계산에 핵심적으로 사용됩니다.
계산 예시: 벡터 성분을 대입해 구체적인 외적 벡터를 산출할 수 있습니다.