곡선 위에서의 접선의 기울기를 구하는 문제는 미분의 가장 기본적인 응용 예시 중 하나입니다. 접선의 기울기는 해당 점에서의 순간 변화율로, 곡선의 도함수를 구한 뒤 해당 x값을 대입하면 쉽게 계산할 수 있습니다.
예제 문제
다음 함수가 주어졌을 때, 점 \( (2, f(2)) \)에서의 접선의 기울기를 구하시오.
\[ f(x) = x^2 + 3x – 5 \]
풀이
1단계: 도함수 구하기
접선의 기울기는 미분계수로 나타낼 수 있으므로, 먼저 \( f(x) \)를 미분합니다.
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x – 5) = 2x + 3 \]
2단계: 해당 점의 x좌표 대입
문제에서 주어진 점은 \( x = 2 \)이므로, 도함수에 \( x = 2 \)를 대입합니다.
\[ f'(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 \]
3단계: 결론
점 \( (2, f(2)) \)에서의 접선의 기울기는 7입니다.
추가 예제
예제 2
함수 \( y = \sin x \)에서 \( x = \frac{\pi}{4} \)일 때 접선의 기울기를 구하시오.
풀이:
1) \( y’ = \cos x \)
2) \( y’\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
→ 접선의 기울기는 \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)입니다.
결론
접선의 기울기는 도함수를 구한 뒤, 해당 x값을 대입하면 됩니다. 이 방법은 다항함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등 모든 미분 가능한 함수에 적용할 수 있습니다.