수열은 일정한 규칙에 따라 배열된 수의 나열로, 수학적 패턴을 이해하고 문제를 해결하는 데 중요한 개념입니다. 본 글에서는 등차수열, 등비수열, 계차수열, 시그마 표현 등 수열과 관련된 핵심 공식들을 총정리합니다.
1. 수열의 기본 개념
수열(sequence)은 첫째 항부터 일정한 규칙에 따라 정해진 순서로 나열된 수의 집합입니다. 일반적으로 \( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \)과 같이 표현됩니다.
2. 등차수열 (Arithmetic Sequence)
- 일반항: \( a_n = a_1 + (n – 1)d \)
- 합 공식: \( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n – 1)d] \)
예: 2, 5, 8, 11, … (공차 \( d = 3 \))
3. 등비수열 (Geometric Sequence)
- 일반항: \( a_n = a_1 r^{n-1} \)
- 합 공식 (r ≠ 1): \( S_n = a_1 \cdot \frac{1 – r^n}{1 – r} \)
예: 3, 6, 12, 24, … (공비 \( r = 2 \))
4. 계차수열 (Difference Sequence)
항 사이의 차이를 다시 수열로 나타내는 형태입니다. \( a_{n+1} – a_n \)이 일정하거나 등차수열이면 계차수열로 분류합니다.
예: \( a_n = n^2 \) → \( a_{n+1} – a_n = 2n + 1 \)
5. 무한등비수열의 합
공비 \( |r| < 1 \)일 때, 무한히 계속되는 등비수열의 합:
\[ S = \frac{a_1}{1 – r} \]
예: \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots \) → \( S = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = 2 \)
6. 시그마 (Σ) 표기와 기본 합 공식
- \( \sum_{k=1}^n 1 = n \)
- \( \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2} \)
- \( \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)
- \( \sum_{k=1}^n k^3 = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 \)
시그마는 수열의 합을 간단히 표현하고 계산할 수 있게 해주는 유용한 기호입니다.
7. 수학적 귀납법과 점화식
- 수학적 귀납법: 수열의 일반항이 성립함을 보일 때 사용
- 점화식: \( a_{n+1} = f(a_n) \) 형태의 재귀적 정의
예: 피보나치 수열 \( a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \)
결론
핵심 정리:
- 등차수열: 일정한 차이 → 일반항, 합 공식
- 등비수열: 일정한 곱 → 일반항, 합 공식
- 무한등비: 공비 절댓값이 1보다 작을 때 수렴
- 시그마 공식: 대표적인 합 계산에 유용
- 점화식: 수열을 재귀적으로 정의
수열은 패턴 인식과 수학적 논리의 기본입니다. 다양한 유형의 수열과 공식을 익혀 두면 수학 문제 해결 능력이 향상됩니다.