3x3 고유벡터 구하기

3×3 행렬의 고유벡터를 구하는 과정은 2×2와 비슷하지만, 계산이 조금 더 복잡해집니다. 특히 행렬식과 연립방정식을 계산할 때 주의가 필요합니다. 이번 글에서는 3×3 행렬의 고유값과 고유벡터를 구하는 구체적인 예제를 통해 과정을 단계별로 설명하겠습니다.

예제: 3×3 행렬

다음 행렬 \( A \)를 예로 들어 보겠습니다.

\[ A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \]

이 행렬은 삼각행렬 형태로, 고유값을 쉽게 찾을 수 있습니다.

고유값은 특성방정식 \( \det(A – \lambda I) = 0 \)을 풀어 구합니다.

\[ A – \lambda I = \begin{bmatrix} 3 – \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 2 – \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 4 – \lambda \end{bmatrix} \]

이 행렬의 행렬식은 다음과 같이 계산됩니다:

\[ \det(A – \lambda I) = (3 – \lambda)(2 – \lambda)(4 – \lambda) \]

따라서 고유값은 다음과 같습니다:

\[ \lambda = 2, \quad \lambda = 3, \quad \lambda = 4 \]

각 고유값에 대해 고유벡터를 구하는 방법은 \( (A – \lambda I)\vec{v} = 0 \) 형태의 연립방정식을 푸는 것입니다.

\[ A – 2I = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \]

위 행렬에 대해 연립방정식 \( (A – 2I)\vec{v} = 0 \)을 풀면 다음 조건이 나옵니다:

\[ x + y = 0,\quad z = 0 \]

따라서 고유벡터는 다음과 같이 표현됩니다:

\[ \vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \text{ 의 스칼라배} \]

\[ A – 3I = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

연립방정식은 다음과 같습니다:

\[ y = 0,\quad z = 0 \]

따라서 고유벡터는:

\[ \vec{v}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \text{ 의 스칼라배} \]

\[ A – 4I = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

연립방정식은 다음과 같습니다:

\[ x + y = 0,\quad y = 0 \Rightarrow x = 0,\quad y = 0 \]

이 조건을 만족하며 \( z \)는 자유롭게 선택 가능합니다. 따라서 고유벡터는:

\[ \vec{v}_4 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text{ 의 스칼라배} \]

3×3 행렬의 고유값은 특성방정식 \( \det(A – \lambda I) = 0 \)을 통해 구하며, 삼각행렬의 경우 고유값은 주대각선에 위치한 값들입니다.

고유벡터는 각 고유값에 대해 \( (A – \lambda I)\vec{v} = 0 \)을 만족하는 벡터를 찾아서 구합니다. 연립방정식을 통해 일반해를 구하고 자유변수로 고유벡터를 표현합니다.

예제에서는 고유값이 \( \lambda = 2, 3, 4 \)였고, 각각의 고유벡터는 다음과 같이 구할 수 있었습니다:

고유벡터는 고유값의 기하학적 의미를 해석하는 데 매우 중요한 도구가 됩니다. 특히 PCA, 공학적 진동 해석, 마르코프 체인 등의 응용 분야에서 필수적인 개념입니다.