확률을 공부하다 보면 늘 따라붙는 말이 있다. 바로 “전체 확률의 합은 1이다”라는 원칙이다. 주사위를 던지든, 동전을 던지든, 어떤 확률 실험을 해도 가능한 모든 경우의 확률을 더하면 1이 된다. 왜 항상 1이어야 할까? 이 글에서는 공리적 정의, 직관적 의미, 그리고 구체적인 예시를 통해 그 이유를 살펴본다.
확률의 공리적 정의
현대 확률론은 콜모고로프(Andrey Kolmogorov)의 공리 체계에 기반한다. 이 공리들에 따르면 확률은 다음 성질을 만족해야 한다.
- 비음수성: 어떤 사건 \(A\)에 대해 확률은 \(P(A) \geq 0\).
- 정규화: 전체 표본공간 \(S\)의 확률은 \(P(S) = 1\).
- 가법성: 서로 배반인 사건 \(A, B\)에 대해 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
여기서 정규화 공리가 바로 핵심이다. 전체 사건(표본공간)은 항상 일어나는 사건이므로, 그 확률을 1로 정의한다. 따라서 가능한 모든 경우의 확률을 더하면 반드시 1이 된다.
직관적 설명: 전체를 1로 두는 이유
확률은 “전체 중에서 어느 정도의 비율을 차지하는가?”를 나타내는 값이다. 전체를 1로 두면, 부분 사건의 확률은 그 전체에 대한 비율로 자연스럽게 표현된다.
- 0은 “일어날 수 없는 사건” (불가능 사건)
- 1은 “반드시 일어나는 사건” (필연 사건)
따라서 모든 가능한 사건을 합치면 곧 “전체 사건”이 되고, 그 확률은 항상 1이다.
예시로 보는 전체 확률
동전 던지기
동전 던지기의 표본공간은 {앞, 뒤}. 확률: \(P(\text{앞}) = 0.5\), \(P(\text{뒤}) = 0.5\). 따라서 전체 확률 합은:
\[ P(\text{앞}) + P(\text{뒤}) = 0.5 + 0.5 = 1 \]
주사위 던지기
주사위 한 번 던지기의 표본공간은 {1,2,3,4,5,6}. 각 면이 나올 확률이 동일하다면:
\[ P(1) = P(2) = \cdots = P(6) = \frac{1}{6} \]
따라서:
\[ \frac{1}{6} \times 6 = 1 \]
비대칭 확률의 경우
코인이 앞면이 0.7, 뒷면이 0.3으로 치우쳐 있다 해도:
\[ 0.7 + 0.3 = 1 \]
확률 분포가 균등하지 않아도 전체 합은 언제나 1이다.
수학적 의미
확률분포(probability distribution)를 수학적으로 표현하면 함수 \(P\)가 표본공간 \(S\)에서 정의되어, 모든 원소의 확률을 합치면 1이 된다:
\[ \sum_{\omega \in S} P(\omega) = 1 \]
연속 확률분포의 경우에도 적분을 사용하면 전체 확률이 1이다:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1 \]
여기서 \(f(x)\)는 확률밀도함수(PDF)다.
철학적 관점
확률을 “불확실성의 수치화”라고 본다면, 전체 불확실성은 언제나 100%다. 가능한 모든 사건을 합치면, 결국 “반드시 일어나는 사건”이 되므로 그 크기를 1로 두는 것이 자연스럽다. 이것은 수학적 정의일 뿐만 아니라 직관적 개념과도 잘 맞아떨어진다.
결론
전체 확률의 합이 1이 되는 이유는 다음과 같다:
- 확률 공리 중 정규화 원리에 의해 전체 사건의 확률을 1로 정의한다.
- 확률은 전체에 대한 비율이므로, 가능한 모든 사건의 합은 전체(=1)가 된다.
- 동전, 주사위 등 모든 확률 실험에서 가능한 모든 결과를 합치면 언제나 1이 된다.
- 이 원리는 이산 확률분포의 합, 연속 확률분포의 적분에서도 동일하게 성립한다.
따라서 “전체 확률의 합은 1이다”라는 말은 확률 이론의 출발점이자, 모든 확률 계산의 기본 원리라고 할 수 있다.