벡터는 크기와 방향을 동시에 가지는 물리적·수학적 개념으로, 기하, 물리, 공학 등 다양한 분야에서 매우 중요합니다. 이번 글에서는 벡터의 기본 개념부터 계산, 내적·외적, 좌표 표현 등 핵심 공식을 총정리해 소개합니다.
1. 벡터의 정의
벡터는 방향과 크기를 가진 양으로, 보통 화살표로 표현합니다. 두 점 A, B가 있을 때 벡터 \( \vec{AB} \)는 A에서 B로 향하는 방향과 길이를 의미합니다.
2. 벡터의 기본 연산
- 벡터의 덧셈: \( \vec{a} + \vec{b} \)
- 벡터의 뺄셈: \( \vec{a} – \vec{b} \)
- 스칼라배: \( k\vec{a} \) → 방향은 그대로, 크기는 k배
3. 벡터의 크기
좌표 \( \vec{a} = (x, y) \) 또는 \( \vec{a} = (x, y, z) \)일 때, 크기(길이)는 다음과 같습니다:
- 2차원: \( |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \)
- 3차원: \( |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)
4. 내적 공식 (dot product)
벡터 \( \vec{a}, \vec{b} \)의 내적은 다음과 같이 정의됩니다:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \]
또는 좌표로는: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 \; (2\text{차원}) \quad \text{또는} \quad a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \; (3\text{차원}) \]
활용:
- 두 벡터가 수직이면 \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)
- \( \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \)
5. 외적 공식 (cross product)
3차원 벡터에서만 정의되며, 다음과 같이 계산됩니다:
\[ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1) \]
외적 결과는 두 벡터에 수직인 벡터이며, 크기는 다음과 같습니다: \[ |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \]
6. 단위벡터와 방향벡터
- 단위벡터: 크기가 1인 벡터 \( \hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \)
- 방향벡터: 특정 방향만을 나타내는 벡터, 보통 단위벡터 형태로 사용
7. 위치벡터
점 A(x, y, z)에서 원점을 기준으로 한 벡터 \( \vec{OA} = (x, y, z) \)를 위치벡터라고 합니다. 점과 점 사이의 벡터도 \( \vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA} \)로 구합니다.
결론
핵심 정리:
- 벡터는 크기와 방향을 모두 가지며, 좌표를 통해 표현
- 덧셈, 뺄셈, 스칼라배, 내적, 외적 등 다양한 연산 공식 존재
- 단위벡터, 위치벡터 등의 개념은 벡터의 정규화 및 표현에 중요
벡터 공식들을 잘 이해하고 숙지하면 기하학, 물리학, 공학 문제를 보다 효율적으로 해결할 수 있습니다.