벡터의 크기, 즉 노름(norm) 또는 길이(length)는 벡터가 원점에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 값입니다. 이는 벡터의 방향성과는 무관하며, 벡터의 ‘세기’ 또는 ‘규모’를 수치적으로 표현하는 데 사용됩니다. 수학과 물리학에서 벡터의 크기를 계산하는 것은 벡터 연산의 기초로, 다양한 분야에서 자주 활용됩니다.
2차원 벡터의 크기 계산
2차원 벡터 \( \vec{v} = (x, y) \)의 크기는 피타고라스 정리를 이용해 다음과 같이 계산합니다:
\[ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
예시: \( \vec{v} = (3, 4) \)일 경우,
\[ |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
이는 벡터가 원점에서 (3, 4) 지점까지 가는 거리와 동일합니다.
3차원 벡터의 크기 계산
3차원 벡터 \( \vec{v} = (x, y, z) \)의 경우, z축 성분이 추가되어 다음과 같이 계산합니다:
\[ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]
예시: \( \vec{v} = (1, 2, 2) \)일 경우,
\[ |\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]
n차원 벡터의 크기 계산
n차원 벡터 \( \vec{v} = (v_1, v_2, …, v_n) \)의 크기는 다음과 같이 일반화할 수 있습니다:
\[ |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} \]
이 정의는 유클리드 노름(Euclidean norm)이라고도 불리며, 가장 널리 사용되는 벡터 크기 측정 방식입니다.
벡터 크기 계산의 응용
- 거리 계산: 두 점 사이의 거리 = 위치 벡터의 차이의 크기
- 단위벡터 계산: 벡터의 크기로 나눠 정규화
- 물리량 측정: 속도, 힘, 가속도의 크기 등
0 벡터의 크기
모든 성분이 0인 벡터 \( \vec{0} = (0, 0, …, 0) \)의 크기는 당연히 0입니다. 즉,
\[ |\vec{0}| = 0 \]
이는 방향성이 없고 원점에 머무는 벡터라는 것을 의미합니다.
기타 노름의 종류 (선택적 이해)
수학적으로는 다양한 방식으로 벡터의 크기를 정의할 수 있습니다. 대표적으로:
- L1 노름 (맨해튼 거리): \( \| \vec{v} \|_1 = |v_1| + |v_2| + \cdots + |v_n| \)
- L∞ 노름 (최대값 노름): \( \| \vec{v} \|_\infty = \max(|v_1|, …, |v_n|) \)
하지만 고등학교 수준이나 물리학에서는 일반적으로 유클리드 노름만 사용됩니다.
결론
2차원 벡터: \( \sqrt{x^2 + y^2} \)
3차원 벡터: \( \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)
n차원 일반화: 모든 성분의 제곱합의 제곱근
활용: 거리 계산, 정규화, 물리량 분석 등에서 핵심적인 역할
0 벡터: 크기는 0이며, 방향성이 없음