미분은 함수의 순간 변화율을 나타내는 중요한 개념으로, 물리학, 경제학, 공학 등 다양한 분야에서 폭넓게 사용됩니다. 본 글에서는 미분의 기본 정의부터 시작해 꼭 알아야 할 미분 공식들을 한눈에 정리합니다. 이 공식을 정확히 숙지하고 활용하는 것은 미적분학의 핵심입니다.
1. 미분의 기본 정의
함수 \( f(x) \)의 x에서의 도함수는 다음과 같이 정의됩니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]
이는 함수의 기울기, 즉 접선의 기울기를 나타내며, 함수가 x에서 얼마나 급격히 변하고 있는지를 보여줍니다.
2. 기본 함수의 미분 공식
- \( \frac{d}{dx} c = 0 \) (상수함수의 미분)
- \( \frac{d}{dx} x = 1 \)
- \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \) (멱함수 공식)
- \( \frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
- \( \frac{d}{dx} \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} \)
3. 삼각함수의 미분
- \( \frac{d}{dx} \sin x = \cos x \)
- \( \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x \)
- \( \frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x \)
- \( \frac{d}{dx} \sec x = \sec x \tan x \)
- \( \frac{d}{dx} \csc x = -\csc x \cot x \)
- \( \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x \)
4. 지수함수 및 로그함수의 미분
- \( \frac{d}{dx} e^x = e^x \)
- \( \frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a \)
- \( \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \)
- \( \frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a} \)
5. 미분의 기본 법칙
- 합의 법칙: \( (f + g)’ = f’ + g’ \)
- 차의 법칙: \( (f – g)’ = f’ – g’ \)
- 곱의 법칙: \( (fg)’ = f’g + fg’ \)
- 몫의 법칙: \( \left( \frac{f}{g} \right)’ = \frac{f’g – fg’}{g^2} \)
- 합성함수의 법칙 (연쇄법칙): \( \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
6. 고차 미분
함수를 두 번, 세 번 이상 미분하는 것을 고차 미분이라고 합니다:
- \( f”(x) = \frac{d^2 f}{dx^2} \): 두 번째 미분
- \( f^{(n)}(x) = \frac{d^n f}{dx^n} \): n번째 미분
7. 자주 나오는 복합 함수 미분 예시
- \( \frac{d}{dx} (\sin x^2) = \cos x^2 \cdot 2x \)
- \( \frac{d}{dx} (\ln(3x^2 + 1)) = \frac{6x}{3x^2 + 1} \)
- \( \frac{d}{dx} (e^{\sin x}) = e^{\sin x} \cdot \cos x \)
결론
기본 정의: 미분은 함수의 순간 변화율을 수학적으로 표현하는 방법입니다.
핵심 공식 요약:
- 기본 함수: \( x^n \to nx^{n-1} \)
- 삼각함수: \( \sin, \cos, \tan \) 등
- 지수/로그 함수: \( e^x, \ln x \)
- 곱, 몫, 합성함수의 미분 법칙
활용: 기울기, 변화율, 최대·최소값 찾기 등 다양한 수학적 문제 해결에 필수적인 도구입니다. 공식들을 잘 익혀두면 미분 문제를 빠르고 정확하게 풀 수 있습니다.