급수는 수열의 항들을 모두 더한 것으로, 수학에서는 수렴 여부와 합의 계산이 중요한 주제가 됩니다. 본 글에서는 급수의 개념, 수렴 조건, 대표적인 공식 및 판단법들을 총정리해 소개합니다.
1. 급수의 정의
급수(series)는 수열 \( \{a_n\} \)의 항들을 차례로 더한 형태로, 다음과 같이 표현됩니다:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots \]
이때 부분합 \( S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \)이 수렴하면 급수도 수렴한다고 말합니다.
2. 등비급수 (Geometric Series)
- \( \sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 – r} \quad (|r| < 1) \)
- \( |r| \ge 1 \)이면 발산
예: \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots = 2 \)
3. 맥클로린 급수 (Maclaurin Series)
- \( e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \)
- \( \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \)
- \( \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \)
- \( \ln(1 + x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \; (|x| < 1) \)
4. 급수의 수렴 판단법
1) 비교 판정법
\( 0 \le a_n \le b_n \), \( \sum b_n \) 수렴이면 \( \sum a_n \)도 수렴
2) 극한 비교 판정법
\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L \), \( 0 < L < \infty \)이면 둘은 같은 수렴/발산 성질
3) 비판정법 (Ratio Test)
\( \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = r \)
- r < 1이면 수렴
- r > 1이면 발산
- r = 1이면 판단 불가
4) 근판정법 (Root Test)
\( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = r \)
- r < 1이면 수렴
- r > 1이면 발산
- r = 1이면 판단 불가
5. 텔레스코핑 급수 (망원급수)
\( a_n = b_n – b_{n+1} \) 형태로, 대부분의 항이 소거되어 합이 간단해지는 급수
예: \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n(n+1)} \right) = 1 \)
결론
핵심 정리:
- 급수는 수열의 항들을 모두 더한 것
- 수렴 여부 판단이 가장 중요 (등비급수, 판정법 사용)
- 맥클로린 급수 등 무한급수는 함수 표현에 사용됨
- 비·근·비교 판정법으로 수렴 판단 가능
급수는 함수 전개, 물리 계산, 금융 모델링 등 다양한 분야에서 매우 유용하게 사용됩니다. 핵심 공식을 잘 익혀두면 복잡한 수식도 효과적으로 다룰 수 있습니다.